平面向量的概念教学反思

这是平面向量的概念教学反思，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量的概念教学反思第 1 篇

　　一、教材结构与内容简析

　　1 本节内容在全书及章节的地位：

　　《向量》出现在高中数学第一册(下)第五章第1节。本节内容是传统意义上《平面解析几何》的基础部分，因此，在《数学》这门学科中，占据极其重要的地位。

　　2 数学思想方法分析：

　　(1) 从“向量可以用有向线段来表示”所反映出的“数”与“形”之间的转化，就可以看到《数学》本身的“量化”与“物化”。

　　(2)从建构手段角度分析，在教材所提供的材料中，可以看到“数形结合”思想。

　　二、 教学目标

　　根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，制定如下教学目标：

　　1 基础知识目标：掌握“向量”的概念及其表示方法，能利用它们解决相关的问题。

　　2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

　　3 创新素质目标：引导学生从日常生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力;《向量》的教学旨在培养学生的“知识重组”意识和“数形结合”能力。

　　4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

　　三、 教学重点、难点、关键

　　重点：向量概念的引入。

　　难点：“数”与“形”完美结合。

　　关键：本节课通过“数形结合”，着重培养和发展学生的认知和变通能力。

　　四、 教材处理

　　建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的`组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出“数形结合”呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的?如何发展?又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。

　　五、 教学模式

　　教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和全体学生积极参与下，进行集体认识的过程。教为主导，学为主体，又互为客体。启动学生自主性学习，启发引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。

　　六、 学习方法

　　1、让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程)。

　　2、使学生把独立思考与多向交流相结合。

　　七、 教学程序及设想

　　(一)设置问题，创设情景。

　　1、提出问题：在日常生活中，我们不仅会遇到大小不等的量，还经常会接触到一些带有方向的量，这些量应该如何表示呢?

　　2、(在学生讨论基础上，教师引导)通过“力的图示”的回忆，分析大小、方向、作用点三者之间的关系，着重考虑力的作用点对运动的相对性与绝对性的影响。

　　设计意图：

　　1、把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”、惊讶、困惑、感到棘手，紧张地沉思，期待寻找理由和论证的过程。

　　2、我们知道，学习总是与一定知识背景即情境相联系的。在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。

　　(二)提供实际背景材料，形成假说。

　　1、小船以0.5m/s的速度航行，已知一条河长2000m，宽150m，问小船需经过多长时间，到达对岸?

　　2、到达对岸?这句话的实质意义是什么?(学生讨论，期望回答：指代不明。)

　　3、由此实际问题如何抽象为数学问题呢?(学生交流讨论，期望回答：要确定某些量，有时除了知道其大小外，还需要了解其方向。)

　　设计意图：

　　1、教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维的最邻近发展)通过问题引领，来促成学生“数形结合”思想的形成。

　　2.通过学生交流讨论，把实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。

　　(三)引导探索，寻找解决方案。

　　1、如何补充上面的题目呢?从已学过知识可知，必须增加“方位”要求。

　　2.方位的实质是什么呢?即位移的本质是什么?期望回答：大小与方向的统一。

　　3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等系列化概念之间的关系是什么?(明确要领。)

　　设计意图：

　　学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上，进行讨论交流，相互评价，共同完成了“数形结合”思想上的建构。

　　2、这一问题设计，试图让学生不“唯书”，敢于和善于质疑批判和超越书本和教师，这是创新素质的突出表现，让学生不满足于现状，执着地追求。

　　3、尽可能地揭示出认知思想方法的全貌，使学生从整体上把握解决问题的方法。

　　(四)总结结论，强化认识。

　　经过引导，学生归纳出“数形结合”的思想——“数”与“形”是一个问题的两个方面，“形”的外表里，蕴含着“数”的本质。

　　设计意图：促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。

　　(五)变式延伸，进行重构。

　　教师引导：在此我们已经知道，欲解决一些抽象的数学问题，可以借助于图形来解决，这就是向量的理论基础。

平面向量的概念教学反思第 2 篇

二、复习要求

平面向量教案

1、 向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

=

- =

记 =(x1,y1), =(x1,y2)

则 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r 记 第一文库网=(x,y)

则λ =(λx,λy) 两个向量

的数量积

· =| || |

cos

记 =(x1,y1), =(x2,y2)

则 · =x1x2 y1y2

3、 运算律

加法: = ,( ) = ( )

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

4、 重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言: ⊥ · =0

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平面向量的概念教学反思第 3 篇

复习要求

平面向量教案

1、 向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

=

- =

记 =(x1,y1), =(x1,y2)

则 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r 记 第一文库网=(x,y)

则λ =(λx,λy) 两个向量

的数量积

· =| || |

cos

记 =(x1,y1), =(x2,y2)

则 · =x1x2 y1y2

3、 运算律

加法: = ,( ) = ( )

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

4、 重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言: ⊥ · =0

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平面向量的概念教学反思第 4 篇

　　本章内容介绍

　　向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

　　向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

　　本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的'、全面的了解.）

　　第1课时

　　2.1 平面向量的实际背景及基本概念

　　教学目标：

　　1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

　　2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

　　3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

　　学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、情景设置：

　　如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否

　　追到老鼠？（画图）

　　结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

　　分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、C B D

　　有长短的量.

　　引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

　　二、新课学习：

　　（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

　　（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

　　1、数量与向量有何区别？

　　2、如何表示向量？

　　3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

　　4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

　　5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

　　6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

　　7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

　　（三）探究学习

　　1、数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

　　2.向量的表示方法：

　　①用有向线段表示；

　　②用字母ａ、ｂ

　　（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

　　3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

　　向量与有向线段的区别：

　　（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

　　（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

　　4、零向量、单位向量概念：

　　①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.

　　注意0与0的含义与书写区别.

　　②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a A(起点) B （终点）

　　说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

　　5、平行向量定义：

　　①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

　　说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

　　6、相等向量定义：

　　长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

　　说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

　　（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．

　　向线段的起点无关。

　　7、共线向量与平行向量关系：

　　平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的。起点无关）。

　　说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

　　（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

　　（四）理解和巩固：

　　例1 书本86页例1.

　　例2判断：

　　（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

　　（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

　　（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

　　（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

　　（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

　　（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

　　（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

　　例3下列命题正确的是（ ）

　　A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

　　B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

　　的四顶点

　　C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

　　D.有相同起点的两个非零向量不平行

　　解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，

　　而由零向量与任一向量都

　　共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

　　变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

　　变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

　　课堂练习：

　　1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

　　②单位向量都相等；

　　③任一向量与它的相反向量不相等；

　　④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

　　⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

　　⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

　　解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

　　②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

　　③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相

　　2．书本88页练习

　　三、小结 ：

　　1、 描述向量的两个指标：模和方向.

　　2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

　　3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

　　四、课后作业：

　　书本88页习题2.1第3、5题

　　同.

　　第2课时

　　2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

　　教学目标：

　　1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

　　2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

　　3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

　　教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

　　学法：

　　数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

　　教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　授课类型：新授课

　　教学思路：

　　一、设置情景：

　　1、 复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

　　2、 情景设置：

　　（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC AB

　　C

　　（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC

　　二、探索研究：

　　１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C AB C