多边形的内角和公式和外角和公式

这是多边形的内角和公式和外角和公式，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

多边形的内角和公式和外角和公式第 1 篇

　　多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。任意凸多边形的外角和都为360°。多边形内角和公式为(n-2)×180°。

　　与多边形的内角相对应的是外角，多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。任意凸多边形的外角和都为360°。多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

　　证明：根据多边形的内角和公式求外角和为360。

　　n边形内角之和为(n-2)*180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：

　　(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

　　=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

　　=n*180°-(n-2)*180°

　　=360°。

　　拓展阅读：多边形的对角线与边数的关系

　　设多边形的边数为n，则顶点数也为n，n个顶点中任意两点连线的条数=组合C(n，2)=n(n-1)/2，其中每专相邻的两个顶属点的连线不是对角线，其数量为n。因此n边形的对角线条数=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2。

　　对角线，几何学名词，定义为连接多边形两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。另外在代数学中，n阶行列式，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。

　　利用对角线判定特殊的四边形结论：

　　1.对角线互相平分的四边形是平行四边形;

　　2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;

　　3.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;

　　4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形;

　　5.对角线相等的梯形是等腰梯形。

多边形的内角和公式和外角和公式第 2 篇

我们已知三角形的内角和为180°，四边形可以分成两个三角形，那么四边形的内角和为180°×2=360°，同理：五边形可以分成三个三角形，那么五边形的内角和为180°×3=540°……

通过作图可以发现，一个n（n≥3）边形过其中一个顶点可以做（n-2）个三角形，由此可以得到多边形内角和公式为：（n-2）×180°。

多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关，我们可以借助多边形的内角和公式与外角和处理以下几类问题。

01

直接利用内、外角和公式

例题1：一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）

A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

解：（n-2）×180°=360°×3，解得：n=8，答案选C。

例题2：已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是_______。

解：正n变形的一个内角为135°，那么一个外角应该是：180°-135°=45°，再根据多边形的外角和为360°，得到：360°÷45°=8，该正多边形的边数n的值为8.

02

截角类

例题3：长方形木板锯掉一个角后，剩下的多边形的内角和是_______。

分析：多边形被截一个角，需要分情况讨论，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变。

可以发现，剩下的图形可能是三角形、四边形或五边形，内角和依次为：180°、360°或540°。

例题4：一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是_______。

解：设内角和为1440°的多边形的边数是n，则（n-2）180=1440，解得：n=10．∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十边形，∴原多边形的边数可能是：9或10或11．

例题5：一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是3120°，求这一内角的度数及多边形的边数。

03

拐弯类

例题6：小明从P点出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，…，照这样走下去，第一次回到出发地点P时，一共走了120米，则a的度数是_______。

分析：第一次回到出发点P时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，用100÷10=10，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．

解：由题意，得120÷10=12，图形是正十二边形，α=360°÷12=30°。

04

奇葩图形内角和

在多边形中，我们会遇到各种各样奇葩的图形，在求这些图形内角和度数时，常用到的知识点有：多边形的内角和公式、三角形的外角等于不相邻的内角和，“8”字模型图。

这些题型在多边形中很常见，需要我们熟练掌握多边形内、外角和公式，并会灵活运用。

多边形的内角和公式和外角和公式第 3 篇

　　多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。任意凸多边形的外角和都为360°。多边形内角和公式为(n-2)×180°。

　　与多边形的内角相对应的是外角，多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。任意凸多边形的外角和都为360°。多边形所有外角的和叫做多边形的外角和。

　　证明：根据多边形的内角和公式求外角和为360。

　　n边形内角之和为(n-2)*180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：

　　(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

　　=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

　　=n*180°-(n-2)*180°

　　=360°。

　　拓展阅读：多边形的对角线与边数的关系

　　设多边形的边数为n，则顶点数也为n，n个顶点中任意两点连线的条数=组合C(n，2)=n(n-1)/2，其中每专相邻的两个顶属点的连线不是对角线，其数量为n。因此n边形的对角线条数=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2。

　　对角线，几何学名词，定义为连接多边形两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。另外在代数学中，n阶行列式，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。

　　利用对角线判定特殊的四边形结论：

　　1.对角线互相平分的四边形是平行四边形;

　　2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;

　　3.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;

　　4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形;

　　5.对角线相等的梯形是等腰梯形。

多边形的内角和公式和外角和公式第 4 篇

【知识梳理】

1.多边形的内角和公式：(n-2)×180；

2.多边形的外角和会等于360，它是个定值，与边数无关；

3.正多边形的定义：每条边均相等，每个内角均相等的多边形是正多边形；

【典型例题】

例1.已知一个多边形的内角和是900，则这个多边形是____边形。

【解析】

依多边形内角和公式求解，即(n-2)×180=900，解得n=7，∴这个多边形是七边形。

例2. 已知一个多边形的每个内角均是108，则这个多边形是____边形。

【解析】

依平角定义及多边形外角和公式求解，由内角是108可得它的外角是72， 360÷72=5∴这个多边形是五边形。

例3. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是____边形。

【解析】

依多边形内角和公式及外角和公式求解，即(n-2)×180=720，解得n=6，∴这个多边形是六边形。

例4.将一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形，这个新的多边形内角和为720，则原多边形的边数为____

【解析】

一个多边形截去一个角，存在三种情况：①减少一条边；②增加一条边；③边数不变，所以需分三种情况进行讨论.

由多边形内角和公式可得：(n-2)×180=720，解得n=6，∴新多边形是六边形。

①当截去一个角后多边形减少一条边时，则原多边形为七边形；

②当截去一个角后多边形增加一条边时，则原多边形为五边形；

③当截去一个角后多边形边数不变时，则原多边形为六边形；

综上所述，原多边形的边数为5、6或7.

例5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；

【解析】由三角形的外角定理可得：∠1=∠H+∠G，∠2=∠A+∠B，∠3=∠C+∠E，∠4=∠E+∠F，由图可知：∠1、∠2、∠3、∠4分别是四边形MNPQ的外角，由多边形外角和公式可得：∠1+∠2+∠3+∠4=360，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360.

例6.如图，甲在一片空地上散步，从A点出发，用10秒沿直线前进20米后向左转45，再沿直线前进20米后向左转45，照这样走下去，他散步10分钟，一共经过了A点多少少？（不包括出发时的那次）

【解析】由路程=速度×时间，可知图形中每条边的长度均相等，即第一点回到A点时，所走的路程正好构成一个外角为45的正多边形，360÷45=8，即是正八边形，∴它的周长为20×8=160米，而甲散步20分钟所走的路程为10×60÷10×20=1200米，1200÷160≈7（次）

例7.观察如图所示的图形，解答下列问题：

（1）观察规律填表；

（2）若一个多边形的内角和为144，求这个多边形的边数和对角线的条数.

【解析】

(1)任选一个点，连对角线时，除与它左、右相邻两点及它本身不能连外，均可连成对角线，且均会重复计数一次，所以，六边形的对角线条数为：6×（6-3）÷2=9（条），七边形的对角线条数为：7×（7-3）÷2=14（条），n边形的对角线条数为：n（n-3）÷2（条），

(2)由多边形内角和公式可得：(n-2)×180=1440，解得n=10，∴这个多边形是十边形，十边形的对角线条数为：10×（10-3）÷2=35（条）