复数的概念教学内容分析

这是复数的概念教学内容分析，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数的概念教学内容分析第 1 篇

教学目标

(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;

(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.

教学建议

(一)教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.

2、重点、难点分析

(1)正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则为实数

②为虚数

③且。

④为纯虚数且

(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.

②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.

③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写.要学生注意.

(5)关于共轭复数的概念

设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).

教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

(6)复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a

(ii)如果a

(iii)如果a

(iv)如果a0，那么ac

(二)教法建议

1.要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.

2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.

3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.

复数的有关概念

教学目标

1.了解复数的实部，虚部;

2.掌握复数相等的意义;

3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.

教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件.

教学难点

用复平面内的点表示复数M.

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

1.复数的定义。

2.虚数单位。

二、讲授新课

1.复数的实部和虚部：

复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2.复数相等

如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

即：的充要条件是且。

例如：的充要条件是且。

例1：已知其中，求x与y.

解：根据复数相等的意义，得方程组：

∴

例2：m是什么实数时，复数,

(1)是实数，(2)是虚数，(3)是纯虚数.

解：

(1)∵时，z是实数,

∴,或.

(2)∵时，z是虚数,

∴，且

(3)∵且时，

z是纯虚数.∴

3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数

复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面.

复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上.

4.复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.

5.共轭复数

(1)当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)

(2)复数z的共轭复数用表示.若，则：;

(3)实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数.

(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.

三、练习1,2,3,4.

四、小结：

1.在理解复数的有关概念时应注意：

(1)明确什么是复数的实部与虚部;

(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;

(3)弄清复平面与复数的几何意义;

(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。

2.复

数集与复平面上的点注意事项：

(1)复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

(3)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业1,2,3,4,

六、板书设计：

§8,2复数的有关概念

1定义：例13定义:4几何意义:

2定义：例25共轭复数:

复数的概念教学内容分析第 2 篇

教学内容 1复数的概念

2复数的代数形式

3 复数的分类

4 复数相等

教学目标 1知识目标 理解复数的有关概念掌握复数的代数表示及复数相等的条件。

2能力目标 培养学生抽象概括运算求解的能力。

3情感目标 培养学生学习数学的兴趣激励学生勇于创新。

教学重难点

重点：复数的有关概念。

难点：对复数有关概念的理解。

教学过程

一.知识回顾 多媒体演示

自然数集、整数集、有理数集、实数集之间关系。

问题 数集能否再进行扩充？（多媒体）

【设计意图】活跃学生思维。

二．新课讲授

（多媒体）

1复数的概念：把形如a+bi（a,b∈R）形式的数称为复数。

复数用字母z表示

复数组成的集合称为复数集，有字母c表示。

2复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R) a叫做复数z的实部用Rez表示。

b叫做复数z的虚部用Imz表示。

3复数的分类：z=a+bi(a,b∈R)

当b=0时，复数为实数

当b≠0时，复数为虚数 在虚数中，当a=0时，复数为纯虚数，当a≠0时复数为非纯虚数。

例题讲解（多媒体）

课堂练习（多媒体）

4复数相等：我们规定：两个复数Z1=a+bi(a,b∈R)与Z2=c+di（c,d∈R)相等当且仅当它们的实部与与虚部分别相等，即

a+bi=c+dióa=c,且b=d

特别地，a+bi=0óa=b=0,此时复数Z=a+bi=0

例题讲解（多媒体）

5课堂练习P85练习题3

6小结：

本节知识点有:

<1>复数概念：把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数。

<2>复数相等：两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部

相等。

7作业：

（1） P85 练习第四题

（2） 思考题：“复数还能否再扩充？”

板书设计

1 复数的概念：把形如a+bi（a,b∈R）形式 4复数相等：两个复数相等

的数称为复数。 当且仅当它们的实部与虚部相等。

2复数的代数形式：z=a+bi（a,b∈R） 5课堂练习P85 第3题

3复数的分类z=a+bi(a,b∈R) 6作业

当b=0时，复数为实数 P85第一题

当b≠0时，复数为虚数 思考题

在虚数中，当a=0时，

复数为纯虚数，当a≠0时

复数为非纯虚数。

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复数的概念教学内容分析第 3 篇

　我说课的题目是《数系的扩充与复数的概念》，我将从背景分析、教学目标、课堂结构、教学媒体设计、教学过程设计、教学评价设计共六个部分作具体的阐述。

　　一、背景分析

　　（1）教材分析

　　本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书选修1-2第3章第1节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的有关概念。是数系经历了三次扩充之后的又一次扩充，是本章后续学习复数四则运算的基础。

　　因此本节课的教学重点是：认识数系扩充必要性，理解复数的基本概念。

　　（2）学情分析

　　因为学生已经掌握了整数与分数；正数与负数；有理数与无理数；以及实数这些概念；有的学生可能知道一些与数系扩充有关的数学史；但是学生对数的'分类主要依靠的是简单记忆，所以对数系扩充的过程以及扩充的必要性不甚了解。

　　因此教学难点是：实数系扩充到复数系的认识过程，以及复数概念的理解。

　　二、教学目标设计

　　鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：

　　（1）知识与技能：了解数系的扩充史，渗透数学文化；掌握复数的概念和复数相等的充要条件。

　　（2）过程与方法：通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力。

　　（3）情感态度价值观：通过了解数系扩充的过程，使学生体会到一种鲜活的数学思维过程，激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。

　　三、课堂结构设计

　　（一）情景引入——得到学习课题，明确学习目标

　　（二）悬疑探究——探究复数的引入的必要性

　　（三）建构新知——探究复数的概念

　　（四）巩固—知识的应用

　　（五）学习小结——概括知识体系，布置作业

　　四、教学媒体设计

　　为了达到更好的教学效果，我准备通过多媒体演示介绍数系扩充史来激发学生的学习兴趣。例1题教学后的变式训练，通过多媒体展示节省时间。在第四个环节当堂检测部分，利用多媒体展示几个题目。其它教学环节基本不再使用多媒体。

　　五、教学过程设计

　　将依次按照课堂结构设计的五个教学环节进行。

　　（一）情景引入——得到学习课题，明确学习目标

　　我将以五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题作为引入：将10分成两个部分，使它们的乘积等于40。

　　解题之后发现：=-15

　　该方程无实数解

　　提出问题（1）：那么他遇到了什么问题呢？负数为什么不能开方？

　　那么他又是怎么解决的呢？

　　（二）悬疑探究——探究复数的引入的必要性

　　①由于生产的需要，产生了自然数

　　②负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。

　　③分数的引入，解决了在整数集中不能整除的矛盾。

　　④无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。

　　那么我们引入什么样的数，才能解决负数不能开平方的矛盾呢？

　　（三）建构新知——探究复数的概念

　　通过第一环节的学习，学生已经了解了由自然数到实数的数系扩充史。但是人们发现在实数范围内仍然无法完全解决代数方程根的问题，这就必须引入新的“数”，（这就是概念产生的必要性）。这时，要鼓励学生积极思考，并肯定学生的思维结果。由此自然地引入“虚数单位”，规定。

　　就像引入无理数一样，根据加、乘运算律，让学生逐步发现复数的代数形式。这样使原来在实数范围内无解的方程，现在可以借助虚数单位表示根，与之对应，之前我们认识的数都是实数，实数和虚数统称为复数。给出实部、虚部的概念；强调复数的实部是，虚部是，不是。

　　提出问题（2）“形如的数是否一定是虚数？”

　　在学生思考和讨论之后，通过对实部、虚部取值情况的分析，帮助学生掌握复数集的分类。至此完成了“引导学生从实数系到复数系扩充”的教学任务。边启发边讲解，之后要求学生思考课后练习第1、第2题，以此加强对复数概念和复数集分类的掌握。最后通过提问的方式确认学生已经达到本环节教学目标的要求。

　　为了巩固学生对复数概念的理解，与学生一起分析例1;引导学生完成例1变式：第四问是课本例题中没有的，我是想通过复数Z等于0的题目来引导学生向下一个教学目标过度。

　　提出问题（3）两个复数，=相等的充要条件是什么呢？

　　引导学生类比两个多项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等、虚部与虚部相等。

　　之后，详细讲解并板书例2，如幻灯片所示，起到教师的示范作用。

　　在观察学生反映，确认学生已经基本理解复数相等的充要条件之后，要求学生独立完成课后练习第三题。经过巡视，挑出学生代表展示其解析过程，表扬书写比较工整的学生。

　　（四）巩固知识的应用

　　在完成了新知学习的环节之后，由于本节课在知识能力方面学生易于掌握，此时通过多媒体展示巩固练习题。

　　（五）学习小结——概括知识体系，布置作业

　　引导学生通读一遍课本的同时回顾本节课的主要内容，由学生自己总结出本节课的主要知识和方法，以此来提高学生归纳总结的能力。

　　布置作业时

　　1、书面作业：习题A组第1、2题

　　2、课外引申：可以推荐一本书——《虚数的故事》，给兴趣浓厚的学生提供课外拓展数学视野的平台。

　　六、教学评价设计

　　到此为止，我完成了教学目标设计的任务；学生也掌握了复数的概念及复数相等的定义；对基础薄弱的学生在“练习1，3”中多给他们创造机会，力争使每一个层次的学生都能有所发展。

　　我的说课到此结束，谢谢大家！

复数的概念教学内容分析第 4 篇

　　引入：

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：已知 ，求：（1） ；（2） 。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通过 可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？为什么存在着使 的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

　　（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

　　（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

　　（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

　　(1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

　　(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么 就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把 表示成 的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与 的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把 看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：（1） ；（2） 。

　　使用 来表示 这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用 表示虚数单位了，而是 了。那么 ，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：不仅仅 是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用 表示成什么形式呢？（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作 。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合 呢？

　　形如 的数，我们把它们叫做复数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：实数与虚数组成了复数，那么 这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当 取何实数时，复数 是：

　　（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：“将10分成两部分，使他们的乘积等于40” 的变形。这个问题就说明了虚数的存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R. Bombelli，1526-1573）发现，方程 有三个实数根4， 。邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用 来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支， 比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一． 虚数

　　1． 虚数单位

　　2． 虚数的表示形式

　　二． 复数

　　1． 概念：形如 的数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。

　　2． 性质：