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垂直于弦的直径教案人教版

日期:2022-01-20

这是垂直于弦的直径教案人教版,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

垂直于弦的直径教案人教版

垂直于弦的直径教案人教版第 1 篇

1、说教材的地位和作用:

本节内容结合研究圆的轴对称性,得到了垂径定理及有关的结论,其定理及其推论反映了圆的重要性质,是今后证明线段、角相等,以及垂直关系的重要依据,同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。又为以后学习解决实际问题奠定了基础,所以它在教材中处于非常重要的地位。同时这节课还培养了学生的运算能力,逻辑推理能力、抽象思维能力,创造能力,对培养学生探索精神和创新意识都有非常重要意义。

二、说教学目标

1、知识与技能目标

(1)、经历探索圆的轴对称性及相关的性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法:

(2)、理解并撑握垂经定理,并能利用它解决一些实际问题;

2、过程与方法

(1)、通过对垂径定理的证明,使学生了解分步骤,由浅入深的证明数学命题的思想方法,从而提高学生分析问题,解决问题的能力。

(2)、通过把实际问题抽象成数学问题,培养学生的数学建模能力,同时也培养了学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观

(1)、通过实际问题转化为数学问题,培养学生勇于探索,锲而不舍的精神。

(2)、通过对赵州桥的介绍,培养学生的自豪感。

(3)、把解圆中的有关弦的半径,弓高等计算问题转化为解直角三角形,渗透了辩证唯物主义思想。

三,说重难点

(1)、教学重点

a、理解圆的轴对称性并掌握垂径定律。

b、学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算等问题。 (2)、教学难点

首先垂径定理及其推论的理解和掌握是本节的一个难点,特别是其推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中的弦不是直径这一条件的理解,其次这部分内容的题设和结论比较复杂,容易混淆,所以它也是本章节的另一个难点。

三、说教学过程

1、创设情境 知识的引入 (1)、介绍赵州桥:

赵州桥是世界著名的古代石拱桥,到现在已经是1300多年了,还保持着它原来的雄姿,它那高度的技术水平和不朽的艺术价值,充分显示了我国古代劳动人民的智慧和力量。

2、温故知新

回忆轴对称图形从而对比圆,得出相关性质 a、圆是轴对称图形;

b、经过圆心的每条直线(注:提醒学生说不能说直径)都是它的对称轴; c、圆的对称轴有无数条。

3、深入探讨知识的形成通过探究,小组讨论找出相等的弦,弧和线段从而推出垂径定理及其他们之间的关系

首先让学生分组进行实验、观察并得出猜想,然后引导学生分析上述猜想条件和结论,并将文字语言转化为符号语言,写出已知、求证。为分清定理的题设和结论作好铺垫,从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析,让学生合作讨论,展示成果,最后师生共同演示、验证猜想的正确性,此时再板书垂径定理的内容。得到定理后,再进一步帮助学生分析定理的题设和结论.

这样可以加深学生对定理的理解,同时也为学生学习进一步的结论作好准备。再道出以这5个论断中的任意两个论断作题设,其它的三个论断作为结论,看能得出哪些结论?得出结论后另外应特别强调“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”,这一推论中对于弦不是直径的这个条件。

4、巩固概念 , 知识的应用

出示例题,解决如何求圆的半径问题,主要是根据所学知识,先把图形问题转化为数学问题,根据图形进行解答,充分体现了学以致用,尝试让学生自己解决,然后师生共同订正步骤,加以规范,使学生凌乱的思维得以梳理,完成本节课的教学。

5、培养创新 , 知识的延伸

为了检测学生对本节课教学目标的达成情况,进一步加强定理的应用训练。设计了练习,帮助学生加深对所学圆的轴对称性、垂线定理及其推论的理解,针对学生解答情况,及时查漏补缺。学生可以选做、

6、反馈释疑

(1)、首先,小组讨论利用本节知识解决赵州桥的半径问题,从而达到前后呼应 (2),通过练习巩固知识加深印象 (3)、布置作业:82页课后练习题 目的是调动学生学习积极性,提高学生思维的广度,培养学生良好的学习习惯及思维品质;同时让学有余力的学生进一步的得到提高。

四、说教法

1、这节课我充分利用了观察、猜想、合作交 流等教学方法,突出重点,突出难点,以科学设计问题为出发点,采用引导探索讨论教学方法,面向全体学生层层设问,充分的体现了以教师为主导,以学生为主体的教学思想。

2、采用了启发式,谈话式等教学方法, 鼓励学生积极发言,活跃课堂气氛,调动学生学习的积极性。

五、知识小结

垂直于弦的直径教案人教版第 2 篇

一、知识点回顾:

1.圆上各点到圆心的距离都等于_________,到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2.如右图,____________是直径,___________是弦,

____________是劣弧,________是优弧,__________是半圆。

3.圆的半径是4,则弦长x的取值范围是_______________。

4.确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5.利用身边常见的工具,你能在操场中画一个直径是5m的圆吗?说说你的方法。

二、新知学习:

(一).学习目标:

1-知识目标:掌握垂径定理

2-能力目标:利用垂径定理解答圆的一般问题

(二).自学要求:P80—P81

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧.

符号语言:∵ 是⊙ 的直径 又∵

推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦所对的两条弧

符号语言:∵ 是⊙ 的直径 又∵

三、典型拓展例题:

1.你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 ,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 ,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

2.如图,在⊙ 中,弦 的长为8 ,圆心 到 的距离为3 .求⊙ 的半径。

3.如图,在⊙ 中, 、 为互相垂直且相等的两条弦, 于 , 于 .

求证:四边形 为正方形。

4.如图所示,两个同心圆 ,大圆的弦 交小圆于 、 。求证:

5.如图所示,在⊙ 中, 、 是弦 上的两点,且 . 求证:

四、检测与反馈:

1.如图,在⊙ 中, 是弦, 于 .

⑴若 , ,求 的长; ⑵若 , ,求 的长;

⑶若 , ,求⊙ 的半径; ⑷若 , OA =10,求 的长。

2.如图所示,在⊙ 中, 、 是弦 延长线的两点,且 .求证:

3.如图,在⊙ 中, 是弦, 为 的中点,若 , 到 的距离为1.求⊙ 的半径.

4.如图,一个圆弧形桥拱,其跨度 为10米,拱高 为1米.求桥拱的半径.

5.⊙ 的半径为5 ,弦 ,弦 ,且 .求两弦之间的距离。

五、畅所欲言

对这节课的内容你有新想法的地方是:_______________________________________

垂直于弦的直径教案人教版第 3 篇

1、说教材的地位和作用:

本节内容结合研究圆的轴对称性,得到了垂径定理及有关的结论,其定理及其推论反映了圆的重要性质,是今后证明线段、角相等,以及垂直关系的重要依据,同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。又为以后学习解决实际问题奠定了基础,所以它在教材中处于非常重要的地位。同时这节课还培养了学生的运算能力,逻辑推理能力、抽象思维能力,创造能力,对培养学生探索精神和创新意识都有非常重要意义。

二、说教学目标

1、知识与技能目标

(1)、经历探索圆的轴对称性及相关的性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法:

(2)、理解并撑握垂经定理,并能利用它解决一些实际问题;

2、过程与方法

(1)、通过对垂径定理的证明,使学生了解分步骤,由浅入深的证明数学命题的思想方法,从而提高学生分析问题,解决问题的能力。

(2)、通过把实际问题抽象成数学问题,培养学生的数学建模能力,同时也培养了学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观

(1)、通过实际问题转化为数学问题,培养学生勇于探索,锲而不舍的精神。

(2)、通过对赵州桥的介绍,培养学生的自豪感。

(3)、把解圆中的有关弦的半径,弓高等计算问题转化为解直角三角形,渗透了辩证唯物主义思想。

三,说重难点

(1)、教学重点

a、理解圆的轴对称性并掌握垂径定律。

b、学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算等问题。 (2)、教学难点

首先垂径定理及其推论的理解和掌握是本节的一个难点,特别是其推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中的弦不是直径这一条件的理解,其次这部分内容的题设和结论比较复杂,容易混淆,所以它也是本章节的另一个难点。

三、说教学过程

1、创设情境 知识的引入 (1)、介绍赵州桥:

赵州桥是世界著名的古代石拱桥,到现在已经是1300多年了,还保持着它原来的雄姿,它那高度的技术水平和不朽的艺术价值,充分显示了我国古代劳动人民的智慧和力量。

2、温故知新

回忆轴对称图形从而对比圆,得出相关性质 a、圆是轴对称图形;

b、经过圆心的每条直线(注:提醒学生说不能说直径)都是它的对称轴; c、圆的对称轴有无数条。

3、深入探讨知识的形成通过探究,小组讨论找出相等的弦,弧和线段从而推出垂径定理及其他们之间的关系

首先让学生分组进行实验、观察并得出猜想,然后引导学生分析上述猜想条件和结论,并将文字语言转化为符号语言,写出已知、求证。为分清定理的题设和结论作好铺垫,从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析,让学生合作讨论,展示成果,最后师生共同演示、验证猜想的正确性,此时再板书垂径定理的内容。得到定理后,再进一步帮助学生分析定理的题设和结论.

这样可以加深学生对定理的理解,同时也为学生学习进一步的结论作好准备。再道出以这5个论断中的任意两个论断作题设,其它的三个论断作为结论,看能得出哪些结论?得出结论后另外应特别强调“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”,这一推论中对于弦不是直径的这个条件。

4、巩固概念 , 知识的应用

出示例题,解决如何求圆的半径问题,主要是根据所学知识,先把图形问题转化为数学问题,根据图形进行解答,充分体现了学以致用,尝试让学生自己解决,然后师生共同订正步骤,加以规范,使学生凌乱的思维得以梳理,完成本节课的教学。

5、培养创新 , 知识的延伸

为了检测学生对本节课教学目标的达成情况,进一步加强定理的应用训练。设计了练习,帮助学生加深对所学圆的轴对称性、垂线定理及其推论的理解,针对学生解答情况,及时查漏补缺。学生可以选做、

6、反馈释疑

(1)、首先,小组讨论利用本节知识解决赵州桥的半径问题,从而达到前后呼应 (2),通过练习巩固知识加深印象 (3)、布置作业:82页课后练习题 目的是调动学生学习积极性,提高学生思维的广度,培养学生良好的学习习惯及思维品质;同时让学有余力的学生进一步的得到提高。

四、说教法

1、这节课我充分利用了观察、猜想、合作交 流等教学方法,突出重点,突出难点,以科学设计问题为出发点,采用引导探索讨论教学方法,面向全体学生层层设问,充分的体现了以教师为主导,以学生为主体的教学思想。

2、采用了启发式,谈话式等教学方法, 鼓励学生积极发言,活跃课堂气氛,调动学生学习的积极性。

五、知识小结

垂直于弦的直径教案人教版第 4 篇

垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容,简称为垂径定理,它是在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的. 垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质,利用垂径定理可以简化线段的计算、线段相等的证明以及弧相等的证明,等等.

垂径定理的内容是:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧,其中主要涉及三个量,分别为:直径、弦和弦心距. 根据这个定理,我们可以得到两个推论,推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧;推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.

有关垂径定理的应用,主要有以下几个方面:

一、利用定理求解圆的半径

例1 如图1所示,在圆O中,圆心到弦AB的距离OD为4 cm,且弦AB = 10 cm,求圆O的半径.

解 如图所示:在圆O中连接OA,所以,AOD为直角三角形. 又因为弦AB = 10,所以,根据垂径定理可得:AD = BD = 5 cm .

即在RtAOD中,由勾股定理可得:

OA2 = OD2 + AD2 = 42 + 52 = 41,

可得OA = ■(cm).

即求得圆O的半径r = ■(cm).

评注:在利用垂径定理解题时,主要有三种类型的题目:

① 已知弦长和弦心距,求圆的半径,正如例1所示.

② 已知弦长和圆的半径,求弦心距的长度.

③ 已知圆的半径和弦心距,求圆的弦长.

在这三种情况下,无论出现哪种题型,我们主要是首先利用垂径定理,得到平分弦,然后再利用在直角三角形中地勾股定理,即可求解问题. 在某些情况下,有的问题是这三种情况的综合,所以,在求解这类题目的时候,一定要严格细心地观察题目,最后利用所学知识进行求解.

二、利用定理求解面积

例2 如图2所示,在圆O和圆Q中,其中圆Q中长为16 cm的弦AB平行于直径CD且与圆O相切,求圆Q的面积减去圆O的面积.

解 观察题目可知,连接QB = R,分别从点O和点Q向弦AB作垂线,垂足分别为点P和点M,又因为AB∥CD,所以,r = OP = QM.

根据垂径定理可知,AM = BM = ■AB = 8 cm,在RtQBM中,根据勾股定理可得MB2 = QB2 - QM2 = QB2 - OP2.

又因为所求的面积S为:

S = π(R2 - r2) = π(QB2 - OP2) = π(QB2 - QM2)

=πMB2 = 82π = 64π,

故所求的面积S为64π.

评注:本题主要是借助切线与半径的垂直关系以及垂径与弦的垂直关系,把两个圆的半径转化到同一个直角三角形中,然后简洁地求出所要求得面积. 以此题为例,讲了一种利用垂径定理求解其他关于面积、周长等问题,解决这类问题的前提是熟练地掌握垂径定理以及和本题有关的知识,然后综合两者清晰分析出解决此问题的方法,最后进行求解.

三、利用垂径定理进行探究性研究

例3 如图3所示,AB是圆O的弦,其中OC,OD为它的弦,并且它们分别交弦AB于E,F两点,有AE = BF. 现在请你找出线段OE与OF 的数量关系,并给出证明.

解 OE和OF的关系为:OE = OF,

具体证明过程如下:

过圆心O向弦AB作垂线,垂足为点M,则由垂径定理可知AM = MB,又因为题目中所给条件AE = BF,所以有

EM = AM - AE = MB - BF = MF (1)

成立.

又因为EMO和FMO都为直角三角形,所以,根据勾股定理可知,在RtEMO中,OE2 = OM2 + EM2.

同理可得OF2 = OM2 + FM2.

根据(1)式可得OE = OF. 故结论得证.

评注:在本例中,题目中所给的条件是线段间的等量关系,以及相关的图形信息,最终要求我们去探究线段之间的数量关系. 在求解这样的问题时,我们往往需要作辅助线,然后构造出垂径定理的相关条件及结果,最后利用勾股定理等等理论探究出OF和OE之间的数量关系. 这种类型的题目充分地展现了垂径定理在解决探究性问题中的作用,这应该引起我们重视及关注.

四、利用垂径定理确定圆心

例4 如图4所示,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A,B,C.

(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)

(2)设ABC为等腰三角形,底边BC = 10 cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R;(结果保留根号)

(3)若在(2)题中的R满足n < R < m(m,n为正整数),试估算m和n的值.

解 (1)作法:作AB,AC的垂直平分线,标出圆心O.

如图(5)所示.

(2)(3)略.

综上可知,垂径定理在初中阶段的用处是十分广泛的,其地位也是十分重要的,它的重要性不仅仅表现在圆的领域中求解半径、弦心距和弦的长,更重要的是在于和其他知识相结合,以及和现实生活相结合,这样更能够体现出“学以致用”的教学理念.

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