函数的定义和性质教案

这是函数的定义和性质教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

函数的定义和性质教案第 1 篇

一、教材分析

本节课在教材中的地位及作用：函数是本章的重点内容，而本节内容又是函数知识的综合应用。本节的学习，既是对函数知识的巩固，又是对数学思想方法的再认识，同时强化了应用意识。本节内容正体现了这一特点。

根据中职《数学教学大纲》要求以及“以服务为宗旨，以就业为导向”的办学方针。数学的教学主要目的是为专业课程服务，为学生将来的社会生活服务。基于以上的认识，本课教学目标及重难点确定如下。

教学目标：

1.知识目标：

（1）理解分段函数的概念及应用；（2）了解实际问题中的分段函数问题。

2.能力目标：

（1）会求分段函数的定义域和函数值；（2）能建立简单实际问题的分段函数关系式以培养学生数据处理及分析与解决实际问题的能力。

3.情感目标：

通过分段函数对营销策略的引导作用让学生体会数学为专业课服务的思想。

重点：对分段函数的认识和理解。在教学过程中，通过计算水费和解答基础例题的突出重点。

难点：建立实际问题的分段函数关系。在教学过程中通过与专业相结合的例题解答及专业素质的训练来突破难点。

关键：确定自变量在不同取值范围内的对应函数关系式。

二、学情分析

本节课的教学对象是高一年级市场营销专业的学生。从知识层面来说学生在前面已经学习了求函数定义域和求函数值，在此基础上学生再学本节课相对能减小难度。从能力层面来说本班学生的整体数学基础较差，缺乏学习兴趣和主动性。从情感层面来说他们对新鲜事物感兴趣，有很强的表现欲，较注重自己的专业素质的培养。针对以上学情，我是这样处理教材的，将教学内容与学生的专业知识相结合，讲授知识，训练技能。

三、教法与学法

1.教法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。新课程标准要求教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：

引导发现法：教学过程中通过水费计算案例，将知识融入到具体的事例中，引导学生归纳总结出相关知识。

小组合作讨论法：教师布置任务分组合作制定出符合分段函数形式的商品促销方案。

反馈式评价法：教师根据学生汇报自制的商品促销方案对学生掌握情况进行评价。

2.学法：针对教法，在学法选择上，我主要采用：自主探究法、合作交流法、归纳总结法。

四、教学过程

在本节课的教学过程中设置了七大环节：

环节1：导入新课。

所谓良好的开端是成功的一半。数学来自生活，又应用于生活和生产实践。分段函数在我们日常生活中具有广泛的应用，比如商品打折、水费、电费计算等等。本课采取的是创设生活情景，导入新课。

让学生观看一段生活中的节约水资源公益广告，来激发学生节约水资源意识。并以此为引入新知做情感上的铺垫。

环节2：引入新知。

教师给出关于水费计算方面的问题。

例1 我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平，为了加强公民的节水意识，某城市制订了每户每月用水收费（含用水费和污水处理费）试写出每户每月用水量与水费之间的函数关系。

本环节教师运用引导发现法进行教学。首先给学生设置四个问题：

（1）自变量是什么？（用水量设为x）（2）自变量的取值范围是什么？（x≥0）（3）自变量被分成了几段？（2段）（4）每一段的函数解析式是什么？

让学生自主思考、探究、回答这四个问题，并以表格形式列出答案。其次，教师利用解析式形式写出函数表达式，从而让学生发现此函数的特点。引出本节重点分段函数的相关概念。本环节是希望通过学生熟悉的实际生活问题引入课题为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离

环节3：巩固新知。

教师板书分段函数定义：在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数。

然后指出分段函数定义域和函数值的求法。并归纳总结出求函数值的步骤：先确定某个自变量所在的范围，再把自变量代入不同范围对应的解析式求出函数值。

根据分段函数的相关定义给出例题。

例2设函数f（x）=2x-1， x≤0；f（x）=x2， x>0

（1）求函数的定义域；（2）求f（2），f（0），f（-1）的值。

教师板书解题过程。结合例题学生进行口答练习，以加强巩固相关知识点。

本环节的设计目的：通过讲练结合的形式，突出本节的重点，加强学生对理论知识的掌握。

环节4：应用新知。

教师根据学生所学专业给出相应的例题。

例3 某商店规定，某种商品一次性购买10kg以下，按零售价格50元/kg销售；若一次性购买量满10kg，可打9折；若一次性购买量满20kg，可按团购价格40元/kg供货。

（1）试写出支付金额y（元）与购买量x（kg）之间的函数关系式；

（2）分别求出购买15kg和25kg应支付的金额。

师生共同分析：在商品销售问题中，销售总金额=单价×销售量。不同的购买量单价不同，所以这是一个分段函数。

（给学生一定的时间分析讨论以得出例题的解题过程。解题过程找一名学生板演，教师带领其他学生检查解题过程，找出问题，共同纠正。）

通过此例题的解题过程让学生归纳总结出应用分段函数知识解决实际问题的步骤：

利用分段函数建模的基本步骤是：

1.确定自变量和它的取值范围。2.对自变量进行分段。3.分段写出函数解析式。

本环节的设计目的：使学生们认识到我们数学学习在他们专业知识中的地位，并体现出生活中处处有数学的思想。

环节5：岗前培训。

本环节把学生分成几个学习小组以激发学生的团队协作意识。教师布置任务：老师知道作为营销专业的我们，咱们大部分同学都比较关注各商场的促销活动。下面的时间同学参照例3的模式，把老师给的几个促销方式，根据课前的分组每组自选一种方式，在规定时间内确定一个促销方案，并求出本次促销方案中的分段函数关系式，以及某一顾客此次购买某件商品的购物金额。然后每组派一名代表阐述你们组的成果。

在小组讨论时，教师到各小组指导，并检查各小组讨论的书面结果。

成果展示时，每组代表在大屏幕上展示本组的成果，以便同学能直观地了解各小组的情况。

各组展示之后，教师以多媒体展示各小组的正确答案。

本环节的实际目的：让学生把死板的理论知识运用到他们专业实践中来，加深学生对本节课重点的理解，又可以突破本节课的难点。

环节6：总结评价。

评价主要采用学生自评和教师评价相结合的方式进行。教师在总结评价时，总结学生的掌握情况及比较各学习小组的特点，引导他们学习别人的长处，使学生的职业能力、实践能力在评估中得到提高。

本环节的设计意图：小结归纳不仅是对知识的简单回顾，主要是发挥了学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。

环节7：布置作业。

（1）读书部分：教材章节3.3；（2）书面作业：学习与训练3.3；（3）实践调查：调查生活中分段函数的实例。

环节8：板书设计。

五、教学反思

本节课的教学过程中充分地体现了做中学的思想。90%的学生掌握了分段函数的相关概念，70%的学生能利用分段函数解决实际问题。教学目标完成，教学效果良好。存在问题：由于分段函数的实际应用在生活中涵盖广泛，因为时间关系，很多问题只能留到课下研讨。

函数的定义和性质教案第 2 篇

一、前言

目前，高中数学教学过程中，很多学生对函数学习不够重视，教师应当在教学过程中明确函数的地位和重要性，并采取积极有效的措施来提高学生学习函数的效果。

二、提高高中数学教学有效性的重要意义

在新时期下，传统的应试教育（应试教育指脱离社会发展需要，违背自然发展规律，以应付升学考试为目的的教育理念和教育方式，是教育工作存在弊端的集中表现）已经无法满足教育事业的发展要求，应试教育的教学模式亦不能满足学生的学习需求，为保障我国教育事业的可持续发展，其必须转变传统的应试教育，开展新的教学模式，做到与时俱进，顺应时代的发展趋势，以实现教育事业的现代化。随着我国社会经济不断发展，我国社会对人才的要求逐渐提高，其所需要的是实践能力强、具有高素质的专业人才，而素质教育的推广和应用则能实现这一目标。

三、高中函数数学的学习内容

首先是函数概念的学习，在高中阶段，我们用映射的观点去定义函数，实际上函数就是一个特殊的映射，是两个非空数集之间的映射，所以，我们要注意函数的三要素：定义域、值域、对应法则。尽管对应法则是构成函数的核心，但定义域也是构成函数的重要组成部分，是构成函数的三大要素之一，是函数赖以变化的基础。函数定义域的变化对函数图像和性质的改变等方面有着不容忽视的制约作用。

函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内在要求。教材通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，将表格表示转化为图象表示。

其次函数性质的学习，高中函数的性质主要有单调性，奇偶性，周期性。学习这些性质的时候主要会各个性质的证明，应用。要理解记忆一些结论，如函数图像有两条对称轴即为周期函数等，利用图像掌握这些性质的特点和应用。

再次是函数和其他知识点的结合，函数、方程和不等式的综合。这些题目在选择题和填空题中有，常在高考数学的压轴题中出现。在解答题中把导数、一元二次函数、分式函数、方程、不等式等结合起来，作为函数综合题，要求较高。函数和数列的综合。数列是特殊的函数，在数列题目中常常会用到单调性、周期性等，特别是和不等式的结合往往是难点。函数和解析几何的综合。解析几何主要用到方程的知识，但是在求最值等问题时也常和函数、不等式等结合，运算量比较大。

四、高中教学中需要注意的问题

1、情感方面。第一，积极引导学生体验高中数学中函数的美好，不断激发学生的求知欲望和学习热情。在实际的教学中，教师可根据学生的需求和兴趣制定不同的教学方案，设置一些比较精致有趣的教学问题，不断采用新的情景模式美化数学函数图形，从而使教学方法更加简单化，数学格式更加细致化。与此同时，还可以在课堂上开展多媒体教学，积极培养学生的审美情趣，带动学生的学习热请和积极性。

第二，创造和谐优美的教学环境，不断拓宽学生的视野和思想创新渠道。新课程改革环境下的教学不再是传统的“教师讲、学生听”的模式，它要求师生之间要时常进行互动和交流，促进师生感情的融合。教师在实际的教学过程中，应该站在学生的立场考虑问题，尊重学生的主体地位，善于发现和表扬学生的优点，培养学生的自信心和优越感，通过肯定和赞许等方式使学生感悟到成功的喜悦，增强其学习的兴趣。

第三，关注个性差异，培养学生自己动手解决问题的能力。高中函数的学习比较复杂，学生的掌握程度和灵活运用情况会具有一定的差异。因此，在课堂上，教师应该多关注学习比较吃力的学生，鼓励并帮助其克服学习函数的困难，促进学生的整体发展。

2、知识方面。扎实的基础在高中函数的学习过程中起到非常重要的作用，也是学生创新思维以及开展研究活动的的重要前提，更是奠定不同数学能力的基础，因此，在实际的教学中，教师必须认识到基础知识和拓展知识的重要性。首先，学生应该在教师的指导下，熟练的掌握函数的的概念、性质和图形，相应的公式及定理也应该掌握扎实，这是解决疑难问题的坚实基础，便于更好的解决深入学习中遇到的问题。其次，应该不断加强通性通法以及常用解题方法与思想的训练学习，在教师的指引下，学生要充分掌握解题的思路和方法，养成科学合理的严密的解题习惯，为以后知识的学习和解题方法的不断累积奠定坚实的基础。

五、高中函数优化教学设计的实践案例

1、高中函数概念教学的实践案例 。课程通过具体的实例展开讨论，从特殊例子当中归纳一般的规律和函数的定义，课堂是一个动态生成的过程，教师引导学生进行交流合作、观察分析、抽象概括、巩固运用、归纳总结，为学生提供交流合作的机会，让学生在轻松的教学氛围中学习知识、提升能力，符合新课程以学生为主题的教学原则。第一步骤，教师进行情境创设，对函数概念的发展过程和中外数学家的努力事迹进行简单介绍，采取故事性的形式吸引高中生的注意力，让学生将精力集中到课堂当中。第二步骤，进行课堂复习和新课讲授。回顾初中所学的函数概念，后教师进行举例，让学生运用初中函数的概念验证所举例子是否符合函数的定义；进行班级分组，让学生进行交流讨论，引导学生发型恩格尔系数和时年份函数相关，数表是函数的一个表示方式；教师引导学生发现例子之间的异同点，从而总结函数概念的要素为对应关系、两个数集、集合1当中的每个元素以及集合2当中的唯一元素，函数的表现形式可以是图像、解析式、图表。第三步骤，教师给出函数新的定义，引导学生关注概念的那个在的限制条件和要点，提升高中生阅读和分析数学知识的能力。同时，根据班级学生的思维特点进行错误认识的纠正。第四步骤，进行课堂练习；进行课堂小结，小结内容包括函数和实际的联系、函数的概念和三要素；布置作业，让学生寻找生活当中的函数实例，进行变量间依存关系的分析。

2、指数函数教学的实践案例。课程的教学设计体系从特殊到一般的过程，课堂当中以学生为主体，教师为主导，从具体实例当中建立函数的关系，进而采用辨证概括的方法获取指数函数之概念；依据具体的图像，观察并总结一般的指数函数的性质。从而，数学的概念在过程当中形成，学生的思维能力和学习能力也得到培养，有助于形成优良的数学品质，提升高中生的数学素养。步骤一，采用2个例子进行新课的引入，从例子当中获得称之为指数函数的函数关系式，让学生从实例当中了解指数函数。步骤二，介绍并分析指数函数的定义，列出多个函数例子，让学生进行判断，引发学生对于指数函数概念中限制条件的注意。步骤三，介绍指数函数的图像，布置学生进行绘图，并对学生的绘图存在偏差和错误的地方进行指导；使用几何画板进行四个函数图像的绘制，引导学生们观察图像从左至右的变化趋势、图像所在的象限及意义、图像的共同之处和特征等等，从而总结得出指数函数的图像特征，整理指数函数性质。步骤四，进行巩固练习和小结，小结内容包括指数函数的定义和注意点、指数函数的性质及图像的特征。

六、结语

总而言之，高中数学教学过程中，函数知识至关重要，学生必须要牢固掌握函数的相关知识，才能为未来的学习奠定基础。所以，老师要更加注重函数知识的教授，采取更加科学的教学方法提高学生学习水平。

函数的定义和性质教案第 3 篇

在高中新课程中，函数是在实际中应用最多的内容之一，它是反映现实生活和其它学科规律的基本的数学模型。作为新课程的一条主线，函数与函数的应用贯穿在高中新课程的始终。

一、 函数与方程

用函数的观点看待方程，可以用动态的观点看方程，把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程就是求函数的零点。

例1.设6ec8aac122bd4f6e，若仅有一个常数c使得对于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e满足方程6ec8aac122bd4f6e，这时，6ec8aac122bd4f6e的取值的集合为 。

分析:题目给出的方程中含有6ec8aac122bd4f6e等多个字母，而条件中是对任意的6ec8aac122bd4f6e都有6ec8aac122bd4f6e，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于6ec8aac122bd4f6e的函数，再进一步研究函数的性质。

解：由已知6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e（其中6ec8aac122bd4f6e），函数为反比例函数，在6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e）上为单调递减，所以当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e又因为对于任意的6ec8aac122bd4f6e，都有6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e，因为有且只有一个常数6ec8aac122bd4f6e符合题意，所以6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e，所以6ec8aac122bd4f6e的取值的集合为6ec8aac122bd4f6e。

本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出，自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。

二、 函数与数列

数列是特殊的函数。因为它的定义域一般是自然数集或其子集，而自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数。教材中从两个角度对数列给出了定义，一是描述性定义：数列是按照一定顺 序排列着的一列数，二是函数性定义：数列是一类定义在整数集或它的有限子集上的一种特殊函数，由此可见，任何数列问题都具有函数的性质以及函数的一些固有特征。充分利用函数的概念、图象、性质去揭示它们之间的内在联系，从而达到更有效、更快捷地解决数列的问题。如等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系，等差数列的前n项和与二次函数的联系，构造特殊函数模型结合图象解决问题等。

例2． 数列通项,前30项中最大项和最小项分别是( )

A B C D

分析:用分离常数法,得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像

三、函数与不等式、线性规划

用函数的观点看不等式——运动变化、数形结合、几何直观。例如二次不等式、高次不等式的解法，都是以函数为载体，通过数形结合的方法来实现。从函数的观点看，线性规划问题就是确定目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，是函数知识在更高维度上的扩展。

例3． 不等式恰好有一个实数解，则的取值范围是 。

分析：如果仅从不等式的角度去思考问题，就要解两个含参不等式，并且使其交集只含有一个元素，理论上可行，但实际解决起来很繁琐。换一角度思考：由不等式可构造函数：，题目转化为该二次函数的图像在轴和直线仅仅出现一个点，不难想象二次函数的图像应满如图所示的样子，即抛物线的最低点在直线上，故，解得。

四、函数与解析几何

平面曲线是函数概念的重要背景，严格定义后它们有差异，但仍有紧密联系。例如：从函数的角度看，一元二次函数的图象是抛物线，体现的是变量之间的对应关系；从方程和曲线的角度看，抛物线是由“到定点和定直线等距”这一几何特征确定的曲线。函数为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。

例4． 已知P点在圆x2+(y-4)2=1上移动，Q点有椭圆上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

分析：两个都是动点，看不出究竟，P、Q在什么位置时|PQ|最大

故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

解：设Q（x，y），则|O1Q|2= x2+(y-4)2=1 ①

因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ⑵

将②代入①得

|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

=

因为Q在椭圆上移动，所以 —1≤y≤1

故当时，|O1Q|mox=

此时 |PQ| mox=+1

函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等。

五、函数与导数

函数是导数的研究对象。没有导数时，函数性质的研究需要许多技巧；导数是研究函数的通用、有效、简便的工具。用导数研究函数性质、进一步理解函数概念和性质的联系，是对函数概念理解的又一次上升。如求函数的最值问题，判断函数的单调性问题等。

例5．已知函数，

(2)若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：(1) ，解得，如下图，所以函数的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

(2)

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故，因此f (－1)＝－7，即函数f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

二次函数的有关性质及其应用是函数内容中的一个重点，而随着导数知识的介入，三次函数在函数问题的研究中凸显出其重要性。三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题,然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

六、立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放问题。点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决。

例6．等边三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段DE折起，使平面ADE平面BDEC，若折叠后AB的长度为d，则d的最小值为（ ）

A. B. C. D.

分析：在此问题中，DE在三角形ABC中的位置是

变化的，由此变化引起翻折后AO、OF的变化，从而

导致AF的变化，进而形成了折叠后AB的长度的变化。

设AO=x，则，

由此易知时，取得最小值为

七、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，现实世界中的许多关系是运用函数模型来刻画的，算法作为研究函数的工具，二者有着密切的联系。例如:算法的顺序结构：输入——处理——输出，和函数的定义：对任意一个x,都有唯一的y与之对应。那么一个简单的函数关系y=2x+1：就可以用相应的顺序结构来写出算法:输入x的值——求出y=2x+1——输出y的值。通过这样的一个例子，我们将函数和算法自然而然结合起来，既学习了顺序结构这一新知，又复习了函数的定义，使二者相符相成。当进入条件结构的教学时，我们自然而然地引导学生联想到分段函数。

例7． 铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张车票托运行李不超过50kg时，每千克0.13元，如超过50kg，超过的部分按每千克0.20元计算，如果行李重量为W(kg),运费为F（元），函数模型为：

请设计程序，输入行李的重量W，输出运费F.

分析：运费F是行李重量W的分段函数，

可以用条件结构的算法解决，

框图如下：

通过上面的例子，我们就会体会到顺序结构、条件结构和函数有着必然的联系，使我们更加体会到函数思想在高中数学中的重要。

从20世纪初函数开始进入中学数学，克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，这足见“函数”的重要地位。新课程中，在义务教育基础上又进行了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的研究，其中涉及他们的定义、图像、性质以及基本应用。而函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与线性规划、函数与算法等等都有着不可分割的联系，新课程中函数真的是无处不在。在教学过程中，始终坚持以函数为纲，做到“纲举目张”。

函数的定义和性质教案第 4 篇

从容说课

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程.同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程.

初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中.本课还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以探讨分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类思想方法，对培养学生全面分析问题、解决问题的能力是很有帮助的.应该说这是知识螺旋化的一种体现，教学时要让学生体会到函数三种表示法具有内在的联系，它们在一定条件下是可以相互转化的.对函数的解析式和图象表示应重点研究.

三维目标

一、知识与技能

1.能熟练掌握函数的三种不同表示.

2.了解函数不同表示法的优缺点.

3.了解分段函数及其表示.

4.会求某些函数的解析式.

二、过程与方法

1.自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法.

2.探究与活动，明白何时的函数用何种方法表示适宜.

3.增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.

三、情感态度与价值观

培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.

教学重点

函数的三种不同表示的相互间转化.

教学难点

函数的解析式的表示，理解和表示分段函数.

教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的材料.

教学过程

一、创设情景，引入新课

师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.

（板书：函数的表示方法）

师：请考察下面三个函数：

投影胶片1（或多媒体制作镜头1）：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从至人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？

1949～我国人口数据表

年 份

人口数/百万

1949

542

1954

603

1959

672

1964

705

1969

807

1974

909

1979

975

1984

1035

1989

1107

1994

1177

1999

1246

师：该题是用的什么方法来表示函数的？

生：这是一份表格.

师：这位同学说得很好.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.

投影胶片2（或多媒体制作镜头2）：一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？

师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.

投影胶片3（或多媒体制作镜头3）：

上图为某市一天24小时内的气温变化图.

请问：

（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

（2）在什么时刻，气温为0℃？

师：这个问题我们用图象表示了时刻与气温的关系，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.

二、讲解新课

1.函数的表示法

（1）解析法

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的解析式，简称为解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函数关系.

解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数.

（2）图象法

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等.

（3）列表法

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表、列车时刻表等.

2.例题讲解

【例1】 教科书P22例3.

本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.通过这个例子可以达到以下目的：

（1）让学生体会到三种表示方法各自的优点.并且，本例后的“思考”为学生比较三种表示方法提供了机会，教学时教师应注意不要让学生错过这个机会.对于“所有的函数是否能用解析法表示”，学生比较难以回答，教学时不妨先举一些例子启发学生，然后再由学生试着举一些例子.

（2）使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调y=5x（x∈R）是连续的直线，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.本例边框中的问题“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么”，应在组织学生讨论后获得结论“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”.

【例2】 教科书P23例4.

本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分.由表格区分三位同学的成绩高低不直观，所以教科书选择了图象法表示.教学时要培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力.要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，并且让三个函数的图象具有整体性，以方便比较.教学时应引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据.

【例3】 教科书P24例5.

本例的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.

【例4】 教科书P24例6.

本例的主要目的有以下几点：

（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题；

（2）学习分段函数及其表示；

（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义；

（4）让学生根据这个例题的边框要求，自行设计任意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，体会在不同情境中使用恰当的函数表示法.

由上述例3和例4归纳出分段函数的概念如下：

2.分段函数

有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数.

实际生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.

【例5】 求下列函数的解析式：

（1）已知f（x）是二次函数，且f

（0）=2，f（x+1）－f（x）=x－1，求f（x）；

（2）已知f（+1）=x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；

（3）已知f（）=+，求f（x）；

（4）已知3f（x）+2f（－x）=x+3，求f（x）.

方法引导：

（1）由已知f（x）是二次函数，所以可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）设法求出a、b、c即可.

（2）若能将x+2适当变形，用+1的式子表示就好办了.

（3）视为一整体不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解.

（4）x、－x同时使得f（x）有意义，用－x代x建立关于f（x）、f（－x）的两个方程就好了.

解：

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f

（0）=2，得c=2.

由f（x+1）－f（x）=x－1，得恒等式2ax+a+b=x－1，得a=，b=－.故所求函数的表达式为f（x）=x2－x+2.

（2）∵f（+1）=x+2=（）2+2+1－1=（+1）2－1，

又∵≥0，+1≥1，

∴f（x）=x2－1（x≥1）.

（3）设=t，则x=，t≠1.

则f（t）=f（）=+=1++=1+（t－1）2+（t－1）=t2－t+1.

∴f（x）=x2－x+1（x≠1）.

（4）∵3f（x）+2f（－x）=x+3， ①

x用－x代得3f（－x）+2f（x）=－x+3. ②

解①②得f（x）=x+.

方法技巧：求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例

（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔y=ax2+bx+c（a≠0）〕，顶点式〔y=a（x－h）2+k〕和标根式〔y=a（x－x1）（x－x2）〕的选择.

（2）已知f［g（x）］求f（x）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例

（2）、

（3）.

（3）函数方程问题，需建立关于f（x）的方程组，如本例

（4）.若函数方程中同时出现f（x）、f（），则一般x用代之，构造另一方程.

特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域.

三、课堂练习

教科书P27练习题1，2，3.

答案：1.y=x（0＜x＜50)，图象如下.

2.（1）题与D图，

（2）题与A图，

（3）题与B图吻合得最好，剩下与C图相符的一件事可能为：

我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度.

3.四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：

函数的表示法、分段函数、函数解析式的求法.

2.本节学习的数学方法：

定义法、换元法、待定系数法、数形结合与分类讨论的思想方法.

五、布置作业

教科书P28习题1.2 A组5，7，9，10，11，12，13.

板书设计

例1

例2

例3

例4

例5

课堂练习

课堂小结