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二次函数与一元二次方程教学随笔

日期:2021-12-26

这是二次函数与一元二次方程教学随笔,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

二次函数与一元二次方程教学随笔

二次函数与一元二次方程教学随笔第 1 篇

  一.学习目标

  1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义。

  2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。

  二.知识导学

  (一)情景导学

  1.一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是。

  2.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?

  设长方形的长为x米,则宽为米,如果将面积记为y平方米,那么变量y与x之间的函数关系式为.

  3.要给边长为x米的正方形房间铺设地板,已知某种地板的价格为每平方米240元,踢脚线的价格为每米30元,如果其他费用为1000元,门宽0.8米,那么总费用y为多少元?

  在这个问题中,地板的费用与有关,为元,踢脚线的费用与有关,为元;其他费用固定不变为元,所以总费用y(元)与x(m)之间的函数关系式是。

  (二)归纳提高。

  上述函数函数关系有哪些共同之处?它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同?

  一般地,我们称表示的函数为二次函数。其中是自变量,函数。

  一般地,二次函数中自变量x的取值范围是,你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗?

  (三)典例分析

  例1、判断:下列函数是否为二次函数,如果是,指出其中常数a.b.c的值.

  (1)y=1—(2)y=x(x-5)(3)y=-x+1

  (4)y=3x(2-x)+3x2(5)y=(6)y=

  (7)y=x4+2x2-1(8)y=ax2+bx+c

  例2.当k为何值时,函数为二次函数?

  例3.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.

  ⑴正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;

  ⑵圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;

  ⑶某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;

  ⑷菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.

  三.巩固拓展

  1.已知函数是二次函数,求m的值.

  2.已知二次函数,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y的值.

  3.一个长方形的长是宽的1.6倍,写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

  4.一个圆柱的高与底面直径相等,试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

  5.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r的取值范围.

  6.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,矩形的一边长2.5m.

  ⑴求隧道截面的面积S(m2)关于上部半圆半径r(m)的函数关系式;

  ⑵求当上部半圆半径为2m时的截面面积.(π取3.14,结果精确到0.1m2)

  课堂练习:

  1.判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

  (1)y=2-3x2;(2)y=x2+2x3;(3)y=;(4)y=.

  2.写出多项式的对角线的条数d与边数n之间的函数关系式。

  3.某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式。

  4.圆柱的高h(cm)是常量,写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。

  课外分层作业:

  A级:

  1.下列函数:(1)y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,属于二次函数的是(填序号).

  2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为.

  3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是()

  A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;

  C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的.关系;

  D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.

  4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x,求第一季度营业额y(万元)与x的函数关系式.

  B级:

  5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图,若圆孔的半径为,三角尺的厚度为16,求这块三角尺的体积V与n的函数关系式.

  6.某地区原有20个养殖场,平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因,决定减少养殖场的数量,当养殖场每减少1个时,平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个,求该地区奶牛总数y(头)与x(个)之间的函数关系式。

  C级:

  7.圆的半径为2cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加到y(cm2).

  (1)写出y与x之间的函数关系式;

  (2)当圆的半径分别增加1cm、时,圆的面积分别增加多少?

  (3)当圆的面积为5πcm2时,其半径增加了多少?

  8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

  (1)证明y是x的二次函数;

  (2)当k=-2时,写出y与x的函数关系式。

二次函数与一元二次方程教学随笔第 2 篇

二次函数(1)

教学目标:

(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯

重点难点:

能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程:

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x的'函数,试写出这个函数的关系式,

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题:(1)从所填表格中,你能发现什么?(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见,达成共识:当AB的长为5cm,BC的长为10m时,围成的矩形面积最大;最大面积为50m2。 对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。形成共识,x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0 <x <10。 对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0 <x <10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并回答:

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

[利润=(售价-进价)×销售量]

2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

[10-8=2(元),(10-8)×100=200(元)]

3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?一天可销

售约多少件商品?

[(10-8-x);(100+100x)]

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取,请求出它的范围,

[x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2]

5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x) (100+100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20-2x)(0 <x <10=化为:

y=-2x2+20x (0<x<10)……………………………(1) 将函数关系式y=(10-8-x)(100+100x)(0≤x≤2)化为: y=-100x2+100x+20D (0≤x≤2)……………………(2)

三、观察;概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答;

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式? (分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点? 让学生讨论、交流,发表意见,归结为:自变量x为何值时,函数y取得最大值。

2.二次函数定义:形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1

(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1

2.P3练习第1,2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决,请你联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式。

六、作业:

1. 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6. 求此抛物线的解析式;

2. (延伸题)已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2),与x轴正半轴交于点D.

(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;

.

3.已知:如图,抛物线yax22axc(a0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(1,0),求抛物线的解析式及

顶点D的坐标。

二次函数与一元二次方程教学随笔第 3 篇

教学目标

(一)教学知识点

1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

2.进一步发展估算能力.

(二)能力训练要求

1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.

2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.

(三)情感与价值观要求

通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.

教学重点

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.

2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

教学方法

学生合作交流学习法.

教具准备

投影片三张

第一张:(记作§2.8.2A)

第二张:(记作§2.8.2B)

第三张:(记作§2.8.2C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

二次函数与一元二次方程教学随笔第 4 篇

一、 教学内容

二次函数(新人教版九年级下册第26.1.1节)

二、教学目标

1.知识技能

通过对多个实际问题的分析,让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义;通过观察和分析,学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。

2.教学思考

学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释,能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。

3.解决问题

体验数学与日常生活密切相关,让学生认识到许多问题可以用数学方法解决,体验实际问题“数学化”的过程。

4.情感态度

通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动,给学生创造成功机会,使他们爱学、乐学、学会,同时培养学生勇于探索,积极合作精神以及公平竞争的意识。

三、教学重点与难点

1.教学重点

认识二次函数,经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。

2.教学难点

根据函数解析式的结构特征,归纳出二次函数的概念。

四、教学流程安排

五、教学过程设计

六、板书设计

26.1.1二次函数

七、教学评价与反思

《二次函数》九年级数学教学案例2016-09-07 14:55 | #3楼

《二次函数》教学案例

一、教学内容:怎样求二次函数解析式

二、教学重点:求二次函数解析式的几种方法。难点:二次函数解析式的求法。

三、教学案例过程:

问题:已知二次函数的图象过点(1,0),与Y轴交与点(0,3),对称轴是直线x=2,求它的函数解析式.(给学生充分的思考时间,让他们讨论交流,然后找小组代表发言。)

生A: 解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把(1,0),(0,3)代入,得

a+b+c=0 c=3

又因为对称轴是x=2,所以-b/2a=2

所以得 a+b+c=0 c=3

-b/2a=2

解得 a=1 b=-4 c=3

所以所求 解析式为y=-4x+3师: 两点代入二次函数一般式必定出现不定式,能想到对称轴,从而以三元一次方程组解得a,b,c,不错!除此方法外,还有没有其他方法,大家可以相互讨论一下. (同学们开始讨论,思考)

生B: 我认为此题可用顶点式,即设二次函数解析式为

y=a(x-2)2+k,把(1,0),(0,3) 代入,得

a+k=0 4a+k=3

解得 a=1 k=-1

故所求二次函数的解析式为y= (x-2)2 -1,

即y=x2-4x+3

师:同学们说对?生齐声答:对!谁也想说一下你组的结果呢?

生C: 因为对称轴是直线x=2,在y轴上的截距为3,我认为该二次函数解析式可设为y=ax2-4ax+3,在把(1,0)代入得a-4a+3=0,解得a=1,所以,求解析式为y= -4x+3

师: 设得巧妙,这个函数解析式只含一个字母,这给运算带来很大方便,很好,很善于思考.大家再想想看,是否还有其他解题途径.

(学生们又挖空心思地思考起来,然后又小声讨论了起来,终于有一学生打破沉寂) 生D: 由于图象过点(1,0), 对称轴是直线x=2,故得与x轴的另一交点为(3,0),所以可用两根式设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3), 再把(0,3)代入, 得a=1,

所以二次函数解析式为y= (x-1)(x-3) ,即y=x2-4x+3

师:说得对,谢谢大家这节课的积极参与。 函数本身与图形是不可分割的,能数形结合, 非常不错,用两根式解此题,非常独到.(至此下课时间快到,原先设计好的三题只完成一题,但看到学生的探索的可爱劲,不能按课前安排完成内容又有何妨呢?)

师: 最后,请同学们想一下,通过本堂课的学习,你获得了什么?

生1:我知道了求二次函数解析式方法有: 一般式,顶点式,两根式.

生2:我获得了解题的能力,今后做完一道题目,我会思考还有没有更好的方法.

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